تبلیغات
اُوج - اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی


ورود به سایت گوگل
ورود به سایت یاهو
ورود به سایت آلتاویستا

نظر شما در خصوص مطالب تارنما






برای محاسبه وزن ایده آل و اطلاع از میزان اضافه وزن خود بر روی عکس کلیک کنید.





» تعداد مطالب :
» تعداد نویسندگان :
» آخرین بروز رسانی :
» بازدید امروز :
» بازدید دیروز :
» بازدید این ماه :
» بازدید ماه قبل :
» بازدید کل :
» آخرین بازدید :

آشنایی با نسبت طلایی،عدد طلایی(عدد فی)،دنباله فیبوناتچی،حد دنباله فیبوناتچی،کاربرد نسبت طلایی وعدد طلایی و روش محاسبه‌ی آن

رشته اعداد فیبوناتچی:

لئوناردو فیبوناچی ایتالیایی حدود سال 1200 میلادی مساله ای طرح كرد : فرض كنید كه یك جفت خرگوش نر و ماده در پایان هر ماه یك جفت خرگوش نر و ماده جدید بدنیا بیاورند ... اگر هیچ خرگوشی از بین نرود , در پایان یك سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟؟؟

معمای زاد و ولد خرگوش!

در واقع فیبوناچی در سال 1202 به مسئله عجیبی علاقمند شد. او می خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آنها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد. فرضیات اینگونه بود :

  • شما یک جفت خرگوش نر و ماده دارید که همین الآن بدنیا آمده اند.
  • خرگوشها پس از یک ماه بالغ می شوند.
  • دوران بارداری خرگوشها یک ماه است.
  • هنگامی که خرگوش ماده به سن بلوغ می رسد حتما" باردار می شود.
  • در هر بار بارداری خرگوش ماده یک خرگوش نر و یک ماده بدنیا می آورد.
  • خرگوش ها هرگز نمی میرند.

حال سئوال اینجاست که پس از گذشت یکسال چه تعداد خرگوش نر و چه تعداد خرگوش ماده خواهیم داشت؟ (پاسخ را شما بدهید)

فیبوناچی تصمیم گرفت برای محاسبه تعداد انها Fn را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض كند.

پس F1 =1 و F2 =2 خواهد بود ... چون در شروع ماه اول فقط یك جفت اصلی وجود دارد...اما با شروع ماه دوم جفت اول جفت دوم را درست میكند.

سپس او متوجه شد كه با شروع ماه N ام جفتها به دو گروه تقسیم می شوند: Fn-1 تعداد جفتهای قدیمی و تعداد جفتهای جدید پس از N-1 ماه است .چون جفت جدید پس از یك ماه تولید میشود و بعد از یك ماه دیگر اولین جفت خود را تولید میكند ... تعداد جفتهای جدید برابر تعداد جفتهای دو ماه قبل است كه با Fn-1 نشان داده میشود .

پس :

Fn= Fn-1 + Fn-2

استفاده از این فورمول و مقادیر اولیه F1 =1 و F2 =2 میتوان تعداد جفتها را پس از یك سال بدست اورد و نوشت F12=233 .

سری اعداد Fn را دنباله فیبوناتچی می نامند. با یك توافق عمومی مقادیر اولیه از 1 و 1 بجای 1و 2 شروع میشود (بطوری كه جمله های دنباله بصورت زیر نوشته میشوند)

... ,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233

حد دنباله فیبوناتچی:

حالا اگر در این دنباله هر عدد را به عدد قبلیش تقسیم كنیم یك همچین سری را خواهیم داشت:

1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1?5, 5/3 = 1?666... 8/5 = 1?6, 13/8 = 1?625, 21/13 = 1?61538 و ...

كه هرچه جلو بریم بنظر می اید كه به یك عدد مخصوص میرسیم . برای بهتر دیدن موضوع به نمودار زیر توجه كنید:

ما این عدد را عدد طلایی مینامیم كه این عدد تقریبا برابر است با : ... 1.618033

به عبارتی دیگر حد این دنباله به عدد طلایی می رسد.

بعدها محاسبات و استدلال های ریاضی نشان داد که این سری همگرا به سمت نسبت طلایی می باشد و جمله عمومی آنرا با بتقریب می توان اینگونه نمایش داد:              fn = Phi n / 5½
O که در آن Phi عدد طلایی میباشد. البته فرمول های دقیق دیگری وجود دارند که اعداد سری و یا اعداد بعدی (Successor) این سری را نمایش می دهند که دراین مطلب به آن نخواهیم پرداخت.

عدد طلایی(عدد فی):

قبلا در مورد چگونگی بدست اوردن عدد طلایی از طریق دنباله فیبوناچی صحبت شد.حالا در مورد راههای دیگر بدست اوردن این عدد صحبت میكنیم ...

در زمانهای قدیم هنرمندان یونانی به خوبی ریاضی دانان مستطیل زیبایی می شناختند كه از نظر هنری عرض 1 و طول X داشت در این مستطیل هر وقت مربعی به ضلع 1 را از ان جدا كنند باز همان مستطیل با همان نسبتهای مستطیل اصلی باقی میماند .

چون مستطیل جدید عرض 1-X و طول 1 دارد و چون نسبت ضعلهای دو مستطیل با هم برابر است :

x^2-x-1=0

حالا اگر در معادله ی بالا برای X حل كنیم ریشه ی مثبت معادله همان عدد طلایی است:

x=(1+5^0.5)/2

آشنایی با نسبت طلایی(Golden Ratio):

پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شکل توجه کنید. اگر این معادله ساده یعنی a2=a*b+b2 را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا" 1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید.

شاید باور نکنید اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند. چرا که بنظر میرسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آنرا می پذیرد. این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد که به تدریج راجع به آن صحبت خواهیم کرد.

جواهر هندسه:

کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : "هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فیثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد".

تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد. کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی پیدا کرد.

کاربرد های نسبت طلایی:

اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا" 1.61804 می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi2=phi+b2 خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا" عدد طلایی را با phi نمایش می دهند)

طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا" معادل 440 متر می باشد بنابر این نسبت 356 بر 220 (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد.

هرم " ریم پاپیروس " در اهرام ثلاثه یكی از قدیمی ترین مثالها از استفاده از این عدد در ساخت بناهاست ...

اگر عرض یكی از شالهای این هرم را بر فاصله نوك هرم تا نقطه وسط كف هرم تقسیم كنیم جواب 1.6 خواهد بود ...

باستان شناسان مطمئن نیستند كه ایا این كار از قصد انجام شده یا اتفاقی بوده است !

مطلب جالب دیگر این است كه اگر قطر این هرم را به دوبرابر ارتفاع ان تقسیم كنیم جواب عدد پی (3.14) خواهد بود .

مثال دیگر در بنای پارتنون در یونان وجود دارد .برای ساخت این بنا كه در 440 BC ساخته شده است از مستطیل طلایی استفاده شده است.

تركیب تناسب طلایی یا توالی فیبوناچی در ستاره‌ داوود توسعه یافته

هنرمندان قدیمی برای اضافه نمودن حس توازن و شكوه به یك صحنه ، مجسمه یا بنا  مدتها از تركیب تناسب طلایی استفاده كرده‌اند . تركیب مزبور یك تناسب ریاضی بر اساس نسبت  1.618/1  بوده و در اغلب مواقع در طبیعت ، مثلا در صدف‌های دریایی و الگوی دانه‌های گل آفتاب‌گردان و یا ساختار هندسی بازوهای میله‌ای كهكشانهای مارپیچی موجود در كیهان یافت می‌شود . امروزه سرنخ‌هایی از این نسبت طلایی در نانو ذرات ( شاخه نانو تكنولوژی ) بدست آمده است . در واقع هم در عالم خرد و هم در عالم كلان این تناسب بخوبی قابل شناسایی است . به هر حال به كار بردن این نسبت در طراحی‌های دستی و رشته‌های هنری كار راحتی نمی‌باشد ، برای اینكه هرگز نمی‌توان به مركز دوران مارپیچ رسید و این نقطه ، مركزی  نامعلوم و غیر قابل دسترس است و تا بی‌نهایت ادامه می‌یابد . به علت سهولت در ترسیم‌ها و كارهای عملی ، نسبت  1.6/1 در نظر گرفته می‌شود .


عكس‌های فوق مربوط به صدف‌های دریایی ، حلزون شنوایی گوش ، یك گردباد و یك كهكشان است .

در گل آفتاب‌گردان ، امتداد مسیر دوران مارپیچ طلایی یا فیبوناچی در هر دو جهت ساعت گرد و پاد ساعت گرد مشاهده میشود .


مستطیل طلایی ویژه

دنباله فیبوناچی و عدد طلایی چیست ؟



لئوناردو فیبوناچی ایتالیایی تبار اهل پیزا حدود سال 1200 میلادی مساله‌ای طرح كرد : فرض كنید كه یك جفت خرگوش نر و ماده در پایان هر ماه یك جفت خرگوش نر و ماده جدید به دنیا بیاورند ... اگر هیچ خرگوشی از بین نرود ، در پایان یك سال چند جفت خرگوش وجود خواهد داشت ؟ البته در این مسئله می‌بایست قواعد و اصول فرضی و قراردادی زیر مراعات شوند !

" شما یك جفت خرگوش نر و ماده دارید كه همین الآن متولد شده‌اند .
خرگوشها پس از یك ماه بالغ می‌شوند .
دوران بارداری خرگوشها یك ماه است .
هنگامی كه خرگوش ماده به سن بلوغ می‌رسد حتما باردار می‌شود .
در هر بار بارداری خرگوش ماده یك خرگوش نر و یك ماده می‌زاید .
خرگوش‌ها تا پایان سال نمی‌میرند . "

او برای حل این مسئله به یك سری از اعداد یا بهتر است بگوییم به یك دنباله رسید كه عبارت بود از  ... ,0،1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233  كه در این دنباله هر عددی ( به غیر از صفر و یك اول ) حاصل جمع دو عدد قبلی خودش می‌باشد ، به طور مثال 3+5=8  یا 1+2=3 و .....

علت بر اینكه در پایان ماه اول ، جفت اول به بلوغ می‌رسد و در پایان ماه دوم بعد از سپری كردن یك ماه بارداری ، یك جفت خرگوش متولد میشود كه جمعا دو جفت خرگوش خواهیم داشت ، در پایان ماه سوم جفت اول یك جفت دیگر به دنیا می‌آورد ولی جفت دوم به پایان دوران بلوغ خود میرسد كه در كل سه جفت خواهیم داشت در پایان ماه چهارم جفت اول و جفت دوم وضع حمل می‌كنند و تبدیل به چهار جفت میشوند و جفت سوم به بلوغ می‌رسد و در كل پنج جفت خواهیم داشت و الی آخر كه در پایان ماه دوازدهم تعداد 233 جفت خرگوش خواهیم داشت .

جهت ادامه مطالعه و آگاهی بیشتر به سایت اُوج مراجعه نمایید.

www.soar.ir

منبع:

        لیان پرتال

        ► سایت ریاضیات  مختص فیزیك




:: مرتبط با: علمی و آموزشی ,
:: برچسب‌ها: اعداد فیبوناچی , نسبت طلایی , تركیب , تناسب طلایی , ریاضیات , فیزیك , هندسه , دنباله فیبوناچی ,
نگارنده : رضا عظیمی
تاریخ : چهارشنبه 1390/11/12
 


عمری با حسرت و انده زیستن نه برای خود فایده ای دارد و نه برای دیگران، باید اُوج گرفت تا بتوانیم آن چه را که آموخته ایم با دیگران نیز قسمت کنیم.